Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)一模）已知實(shí)數(shù)a＞0，f(x)=

x2-2ax，x≤1 log 1 2 x，  x＞1

，若方程f(x)=-

3

4

a2有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大實(shí)根大于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

2 3

3

，2]

．

Answer 1

分析：在直角坐標(biāo)系里作出函數(shù)y=f（x）+

3

4

a2的圖象，根據(jù)a值觀察圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)的圖象是由y=log 

1

2

x的圖象向上下平移

3

4

a2單位而得，它與x軸必有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1；而x≤1的圖象是拋物線的一部分；各段圖象如圖．可得方程f(x)=-

3

4

a2有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大實(shí)根大于2時(shí)，有

m(1)=12-2a×1+ 3 4 a2≤0 n(2)=log 1 2 2+ 3 4 a2＞0

，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意，作出函數(shù)y=f（x）+

3

4

a2的圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)的圖象是由y=log 

1

2

x的圖象向上下平移

3

4

a2單位而得，它與x軸必有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1；而x≤1的圖象是拋物線的一部分；各段圖象如圖．
若方程f(x)=-

3

4

a2有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大實(shí)根大于2，則有：

m(1)=12-2a×1+ 3 4 a2≤0 n(2)=log 1 2 2+ 3 4 a2＞0

．
解得

2 3 ≤a≤2 a＞ 2 3 3

，即

2 3

3

＜a≤2．
故答案為：(

2 3

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的根的個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)判斷等等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．采用數(shù)形結(jié)合是此種問題的常用解法．