設(shè)數(shù)列{an}，a1=，若以a1，a2，…，an為系數(shù)的二次方程：an-1x2-anx+1=0（n∈N*且n≥2）都有根α、β滿足3α-αβ+3β=1．
（1）求證：{an-}為等比數(shù)列；
（2）求an；
（3）求{an}的前n項(xiàng)和Sn．
【答案】分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理分別求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，進(jìn)而求得an=an-1+，進(jìn)而可推知為定值，原式得證．（2）先根據(jù)a1求得數(shù)列{an-}的首項(xiàng)，再由（1）求得的公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)而可得an
（3）再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得Sn．
解答：（1）證明：∵α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1得an=an-1+，
∴==為定值．
∴數(shù)列{an-}是等比數(shù)列．
（2）解：∵a1-=-=，
∴an-=×（）n-1=（）n．
∴an=（）n+．
（3）解：Sn=（+++）+=+=-．
點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
n
3
，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)bn=
n
an
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想出{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
n
2
（n∈N*），通項(xiàng)公式是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•棗莊一模）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，對任意的n∈N*，an+2是an+1與an的等差中項(xiàng)．
（1）設(shè)bn=an+1-an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（不要求計(jì)算過程），令cn=
3
2
n(
5
3
-an)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=4，a3=9，an=an-1+an-2-an-3（n=4，5，…），則a2013=
 
．

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