19.求證:函數(shù)f(x)=−1x−1在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).
分析 根據(jù)題意,設(shè)x1>x2>0,用定義法作差可得f(x1)-f(x2)=(-1x1-1)-(-1x2-1)=1x2-1x1=x1−x2x1x2,結(jié)合x1>x2>0,分析可得x1-x2>0且x1•x2>0,分析可得f(x1)-f(x2)的符號,由函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得證明.
解答 證明:根據(jù)題意,設(shè)x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(-1x1-1)-(-1x2-1)=1x2-1x1=x1−x2x1x2,
又由x1>x2>0,則x1-x2>0且x1•x2>0,
則有f(x1)-f(x2)=x1−x2x1x2>0,
即f(x1)>f(x2),
故函數(shù)f(x)=−1x−1在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).
點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明,要掌握定義法的證明過程并正確化簡.