Question

A、B兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片．規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止．設(shè)ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)．
（1）求ξ的取值范圍；
（2）求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

（1）設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，
則

|m-n|=5 m+n=ξ 1≤ξ≤9

，
可得：當(dāng)m=1，n=0或m=0，n=5時，ξ=5；
當(dāng)m=6，n=1或m=1，n=6時，ξ=7；
當(dāng)m=7，n=2或m=2，n=7時，ξ=9；
∴ξ的所有可能取值為：5，7，9．
（2）ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)，由題意知ξ的所有可能取值為：5，7，9．
根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式得到
P（ξ=5）=2×(

1

2

)5=

2

32

=

1

16

；
P（ξ=7）=2

C

15

(

1

2

)7=

5

64

；
P（ξ=9）=1-

1

16

-

5

64

=

55

64

；
∴Eξ=5×

1

16

+7×

5

64

+9×

55

64

=

275

32

．