Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=2- 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)）．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=3x y′=y

得到曲線C′，設(shè)曲線C′上任一點(diǎn)為M（x，y）．求點(diǎn)M到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：計(jì)算題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）運(yùn)用代入法，即可得到直線l的直角坐標(biāo)方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，p²=x²+y²，即可得到C的直角坐標(biāo)方程．
（2）求出C'的方程，再由參數(shù)方程，設(shè)M（3cosθ，sinθ），由點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的最值，即可得到所求的最大值．

解答： 解：（1）直線l的參數(shù)方程為

x=2- 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)），則消去t，得x=2-

3

y，
即l：x+

3

y-2=0；
曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，p²=x²+y²，
得C：x²+y²=1
（2）由于曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=3x y′=y

得到曲線C′，
則

x= x′ 3 y=y′

即

x′2

9

+y'²=1，
即有C′：

x2

9

+y2=1，
設(shè)M（3cosθ，sinθ），
則M到l距離d=

|3cosθ+ 3 sinθ-2|

2

=

|2 3 sin(θ+ π 3 )-2|

2

，
故dmax=

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．