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19.已知函數$f(x)=\frac{2}{x}+alnx-2(a>0)$,若對于?x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,則實數a的取值范圍為(0,$\frac{2}{e}$).

分析 求f′(x),根據導數的符號求出f(x)在(0,+∞)上的最小值,讓最小值大于2(a-1),得到關于a的不等式,解該不等式,從而求出a的取值范圍即可.

解答 解:f′(x)=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$,a>0;
∴x>$\frac{2}{a}$時,f′(x)>0,0<x<$\frac{2}{a}$時,f′(x)<0;
所以x=$\frac{2}{a}$時,f(x)取最小值f($\frac{2}{a}$)=a+aln$\frac{2}{a}$-2;
因為對于?x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立;
∴a+aln$\frac{2}{a}$-2>2(a-1);
∴aln$\frac{2}{a}$>a;
∴l(xiāng)n$\frac{2}{a}$>1,$\frac{2}{a}$>e;
∴0<a<$\frac{2}{e}$;
∴a的取值范圍為(0,$\frac{2}{e}$),
故答案為:(0,$\frac{2}{e}$).

點評 考查通過求導數,根據導數的符號判斷函數的單調性,以及根據導數符號求函數的最小值的方法,注意正確求導.

練習冊系列答案
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