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已知橢圓數學公式的兩個焦點分別為F1(-1,0),F2(1,0),點P在橢圓上,且滿足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,直線y=kx+m與圓數學公式相切,與橢圓相交于A,B兩點.
(I)求橢圓的方程;
(II)證明∠AOB為定值(O為坐標原點).

解:(I)由題意,|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,|F1F2|=2,
解三角形得,由橢圓定義得,
從而,又c=1,則,所以橢圓的方程為(6分)
(II)設交點A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0
由韋達定理得(9分)
又直線y=kx+m與圓相切,
則有(11分)
從而x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=(12分)•
所以,即∠AOB=90°為定值.(13分)
分析:(I)由題意,|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,|F1F2|=2,解三角形得,由此能夠導出橢圓的方程.
(II)設交點A(x1,y1),B(x2,y2),聯立,消去得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由韋達定理得,又直線y=kx+m與圓相切,則有,由此能夠求出∠AOB=90°為定值.
點評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用,解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓的兩個焦點分別是F1(0,-2
2
),F2(0,2
2
)
,離心率e=
2
2
3

(1)求橢圓的方程;
(2)一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M,N,且線段MN中點的橫坐標為-
1
2
,求直線l的傾斜角的范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

求下列各曲線的標準方程.
(1)已知橢圓的兩個焦點分別是(-2,0),(2,0),并且經過點(
5
2
,-
3
2
).
(2)已知拋物線焦點在x軸上,焦點到準線的距離為6.

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科目:高中數學 來源:2012年山東省高考模擬預測卷(四)文科數學試卷(解析版) 題型:解答題

給定橢圓  ,稱圓心在坐標原點,半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個焦點分別是,橢圓上一動點滿足

(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程;

(Ⅱ)過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點,且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.求出的值.

 

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數學理卷 題型:解答題

((本小題滿分14分)

給定橢圓  ,稱圓心在坐標原點,半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個焦點分別是,橢圓上一動點滿足

(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程

(Ⅱ)試探究y軸上是否存在點(0, ),使得過點作直線與橢圓只有一個交點,且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由。

 

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數學文卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)

給定橢圓  ,稱圓心在坐標原點,半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個焦點分別是,橢圓上一動點滿足

(Ⅰ) 求橢圓及其“伴隨圓”的方程;

(Ⅱ) 過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點,且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.求出的值.

 

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