分析 (1)推導(dǎo)出AC⊥AB,A1B⊥AC,從而AC⊥平面ABB1A1,由此能證明平面ABB1A1⊥平面ACC1A1.
(2)以B為原點(diǎn),BA為x軸,在平面ABC中過(guò)B作BA的垂線為y軸,BA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-BB1-C的正切值.
解答 證明:(1)在△ABC中,∵AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB,…(2分)
又∵A1B⊥AC且A1B、AC是面ABB1A1內(nèi)的兩條相交直線,
∴AC⊥平面ABB1A1,..…(4分)
又AC?平面ACC1A1,
∴平面ABB1A1⊥平面ACC1A1.…(5分)
解:(2)在△ABC中,∵A1B2+AB2=AA12,∴A1B⊥AB,
又∵A1B⊥AC且AB、AC是面ABC內(nèi)的兩條相交直線,∴A1B⊥面ABC,…(7分)
∴以B為原點(diǎn),BA為x軸,在平面ABC中過(guò)B作BA的垂線為y軸,BA1為z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,0,0),A(12,0,0),C(12,5,0),A1(0,0,5),
由→BB1=→AA1,得B1(-12,0,5),…(8分)
取平面ABB1A1的一個(gè)法向量→n1=(0,1,0),
設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量→n2=(x,y,z),
由{→n2•→BB1=0→n2•→BC=0,得 {−12x+5z=012x+5y=0.
取x=5,則→n2=(5,−12,12)…(10分)
∴cos<→n1,→n2>=→n1•→n2|→n1|•|→n2|=-12√313,
設(shè)A-BB1-C的大小為θ,
則cosθ=\frac{12}{{\sqrt{313}}},tanθ=\frac{13}{12}.
∴二面角A-BB1-C的正切值的大小為\frac{13}{12}…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查二面角的正切值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 8 | B. | 9 | C. | \frac{47}{5} | D. | 10 |
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A. | 2個(gè) | B. | 3個(gè) | C. | 4個(gè) | D. | 5個(gè) |
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A. | a≤e | B. | 0<a≤e | C. | a≥e | D. | 0<a<\frac{1}{e} |
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時(shí)間x(s) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
深度y(μm) | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
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