Question

1．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥AC，且A₁B=AC=5，AA₁=BC=13，且AB=12．
（1）求證：平面ABB₁A₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求二面角A-BB₁-C的正切值的大小．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥AB，A₁B⊥AC，從而AC⊥平面ABB₁A₁，由此能證明平面ABB₁A₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，在平面ABC中過(guò)B作BA的垂線(xiàn)為y軸，BA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BB₁-C的正切值．

解答 證明：（1）在△ABC中，∵AB²+AC²=BC²，∴AC⊥AB，…（2分）
又∵A₁B⊥AC且A₁B、AC是面ABB₁A₁內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，..…（4分）
又AC?平面ACC₁A₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ACC₁A₁．…（5分）
解：（2）在△ABC中，∵${A_1}{B^2}+A{B^2}=A{A_1}^2$，∴A₁B⊥AB，
又∵A₁B⊥AC且AB、AC是面ABC內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，∴A₁B⊥面ABC，…（7分）
∴以B為原點(diǎn)，BA為x軸，在平面ABC中過(guò)B作BA的垂線(xiàn)為y軸，BA₁為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，0，0），A（12，0，0），C（12，5，0），A₁（0，0，5），
由$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{A{A_1}}$，得B₁（-12，0，5），…（8分）
取平面ABB₁A₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，0），
設(shè)平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{B{B_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}-12x+5z=0\\ 12x+5y=0.\end{array}\right.$
取x=5，則$\overrightarrow{n_2}=（5，-12，12）$…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|{\overrightarrow{{n}_{1}}}_{\;}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=-$\frac{12}{\sqrt{313}}$，
設(shè)A-BB₁-C的大小為θ，
則$cosθ=\frac{12}{{\sqrt{313}}}$，$tanθ=\frac{13}{12}$．
∴二面角A-BB₁-C的正切值的大小為$\frac{13}{12}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．