在平面直角坐標(biāo)系中,的兩個(gè)頂點(diǎn)
、
的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),點(diǎn)
是
的重心,
軸上一點(diǎn)
滿足
,且
.
(1)求的頂點(diǎn)
的軌跡
的方程;
(2)不過點(diǎn)的直線
與軌跡
交于不同的兩點(diǎn)
、
,當(dāng)
時(shí),求
與
的關(guān)系,并證明直線
過定點(diǎn).
(1) (2)
,直線過定點(diǎn)
【解析】
試題分析:(1)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
,
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082612570742016822/SYS201308261301347721113543_DA.files/image006.png">為的重心,故
點(diǎn)坐標(biāo)為
.
由點(diǎn)在
軸上且
知,點(diǎn)
的坐標(biāo)為
, ……2分
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082612570742016822/SYS201308261301347721113543_DA.files/image013.png">,所以,即
.
故的頂點(diǎn)
的軌跡
的方程是
. ……4分
(2)設(shè)直線與
的兩交點(diǎn)為
.
由消去
得
,
則,
且,
. ……8分
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082612570742016822/SYS201308261301347721113543_DA.files/image024.png">,所以,
故,
整理得.解得
. ……10分
①當(dāng)時(shí)
=
,直線過點(diǎn)(-1,0)不合題意舍去。
②當(dāng)時(shí),
=
,直線過點(diǎn)
.
綜上所述,直線過定點(diǎn)
. ……12分
考點(diǎn):本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系.
點(diǎn)評(píng):求曲線方程時(shí),不要忘記驗(yàn)證是否有限制條件;解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),一般離不開直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組,此時(shí)不要忘記驗(yàn)證判別式大于零.
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π | 3 |
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2 |
3π |
2 |
AC |
BC |
π |
2 |
2 |
3 |
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