Question

已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)在上的最小值；
（2）若函數(shù)與的圖像恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)最小值，當(dāng)時(shí)最小值（2）3（3）

試題分析：（1）令，得，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。此時(shí)最小值為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)最小值為。
（2）在上有且僅有僅有一個(gè)根，即在上有且僅有僅有一個(gè)根，令，則，上遞增，所以。
（3），由題意知有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。
，所以當(dāng)時(shí)，存在，且的值隨著的增大而增大。
而當(dāng)時(shí)，則有，兩式相減得代入，解得此時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
點(diǎn)評：第一小題求最值需對參數(shù)分情況討論從而確定最值點(diǎn)的位置，第二小題將方程的根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值得判定，這種轉(zhuǎn)化方法包括將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題都是函數(shù)題目中經(jīng)常用到的思路，須加以重視