Question

13．已知復數z=3+4i對應點為A，且z恰好為二次方程x²+px+q=0的一個根．
（1）求實數p，q的值；
（2）若點O為原點，求與$\overrightarrow{OA}$同向的單位向量．

Answer 1

分析 （1）復數z=3+4i對應點為A，且z恰好為二次方程x²+px+q=0的一個根．$\overline{z}$=3-4i也為此方程的一個根，利用根與系數的關系即可得出．
（2）$\overrightarrow{OA}$=（3，4），則與$\overrightarrow{OA}$同向的單位向量=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$．

解答 解：（1）∵復數z=3+4i對應點為A，且z恰好為二次方程x²+px+q=0的一個根．
∴$\overline{z}$=3-4i也為此方程的一個根，則z+$\overline{z}$=6=-p，z•$\overline{z}$=（3+4i）（3-4i）=25=q，
∴p=-6，q=25．
（2）$\overrightarrow{OA}$=（3，4），
則與$\overrightarrow{OA}$同向的單位向量=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{（3，4）}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．

點評 本題考查了復數的運算法則、實系數一元二次的根與系數的關系、復數的幾何意義、單位向量，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．