Question

已知頂點在坐標(biāo)原點，焦點為P（1，0）的拋物線C與直線y=2x+b相交于A，B兩點，|AB|=3

5

．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求b的值；
（3）當(dāng)拋物線上一動點P從點A到B運動時，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：本題（1）利用已知拋物線的焦點，得到參數(shù)p的值，從而求出方程，得到本題結(jié)論；（2）用直線和拋物線的方程聯(lián)列方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，得到關(guān)于b的等式，解方程得到b的值，得到本題結(jié)論；（3）先由直線和拋物線的方程聯(lián)列方程組，求出點A、B的坐標(biāo)，再利用參數(shù)方程思想，設(shè)出點P的坐標(biāo)，用點到直線的距離公式表示出高的長，得到面積的函數(shù)表達式，求函數(shù)最值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y²=2px（p＞0），
根據(jù)題意：

p

2

=1，
∴p=2，
∴y²=4x．
∴所求的拋物線C標(biāo)準(zhǔn)方程為∴y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=2x+b y2=4x

得：
4x²+4（b-1）x+b²=0，
△=16（b-1）²-16b²＞0．
∴b＜

1

2

．
又由韋達定理有x₁+x₂=1-b，x₁x₂=

b2

4

，
∴|AB|=

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

1-2b

，
即

5(1-2b)

=3

5

．
∴b=-4．
（3）由

y=2x-4 y2=4x

得：
x²-5x-4=0，
∴x=-2或x=4，
∴y=-2或y=4．
設(shè)點P（

t2

4

，t），
∵動點P從點A到B運動，
∴-2＜t＜4．
動點P到直線AB的距離為：
d=

|2• t2 4 -t-4|

22+12

=

| 1 2 (t-1)2- 9 2 |

5

（-2＜t＜4）．
當(dāng)t=1時，dmax=

9

2 5

，此時P（

1

4

，1）．
∴△ABP面積的最大值為

1

2

|AB|d=

1

2

•3

5

•

9

2 5

=

27

4

．
∴△ABP面積的最大值為：

27

4

．

點評：本題考查了拋物線的方程、弦長公式、點到直線距離公式，還考查了函數(shù)最值的求法，本題有一定的綜合性，屬于難題．