Question

過點(diǎn)（0，1）且與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（　　）

A．1條

B．2條

C．3條

D．0條

Answer 1

分析：作出圖形并加以觀察，可得過點(diǎn)（0，1）與x軸平行的直線符合題意，另外還有拋物線的兩條切線也符合題意，即存在3條直線滿足過點(diǎn)（0，1）且與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)．再由點(diǎn)的坐標(biāo)與拋物線的方程，結(jié)合直線的方程加以計(jì)算可得此3條直線的方程，從而得到答案．

解答：解：根據(jù)題意，可得
①當(dāng)直線過點(diǎn)A（0，1）且與x軸平行時(shí)，方程為y=1，
與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，坐標(biāo)為（

1

4

，1）；
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與拋物線y²=4x相切于原點(diǎn)，符合題意；
③當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線AB的方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 y2=4x

消去y，得k²x²+（2k-4）x+1=0，
△=（2k-4）²-16=0，解得k=1，切線方程為y=x+1．
綜上所述，存在三條直線：y=1、x=0和y=x+1滿足過點(diǎn)（0，1）且與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線和定點(diǎn)，求經(jīng)過定點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的方程和直線與拋物線的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．