Question

已知△ABC三邊所在直線方程為AB：3x+4y+12=0，BC：4x-3y+16=0，CA：2x+y-2=0，求：
（1）∠ABC的平分線所在的直線方程；
（2）AB與AC邊上的中位線所在直線方程．

Answer 1

考點：兩直線的夾角與到角問題

專題：直線與圓

分析：（1）由條件解方程組求得點B的坐標，根據(jù)一條直線到另一條直線的夾角公式求得，∠ABC的內角平分線所在直線的斜率k，用點斜式求得∠ABC的平分線所在的直線方程．
（2）求得點A的坐標，可得線段AB的中點D的坐標，再根據(jù)AB與AC邊上的中位線所在直線的斜率等于BC的斜率

4

3

，用點斜式求得AB與AC邊上的中位線所在直線方程．

解答： 解：（1）由

3x+4y+12=0 4x-3y+16=0

 求得

x=-4 y=0

，可得點B的坐標為（-4，0）．
設∠ABC的內角平分線所在直線的斜率為k，則

k-kBA

1+k•kBA

=

kBC-k

1+kBC•k

，即

k+ 3 4

1+(- 3 4 )•k

=

4 3 -k

1+ 4 3 k

．求得k=

1

7

，或k=-7．
由題意可得，∠ABC的內角平分線所在直線的斜率k應在BA、BC的斜率之間，故取k=

1

7

，
故∠ABC的平分線所在的直線方程為y-0=

1

7

（x+4），即 x-7y+4=0．
（2）由

3x+4y+12=0 2x+y-2=0

，求得

x=4 y=-6

，可得點A的坐標為（4，-6），故線段AB的中點D的坐標為（0，-3），
再根據(jù)AB與AC邊上的中位線所在直線的斜率等于BC的斜率

4

3

，
故AB與AC邊上的中位線所在直線方程為 y+3=

4

3

（x-0），即 4x-3y-9=0．

點評：本題主要考查求兩條曲線的交點坐標的方法，一條直線到另一條直線的夾角公式，用點斜式求直線的方程，屬于基礎題．