Question

設函數f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=3f（x），且當x∈[2n，2n+2]，n∈Z時，f（x）=3ⁿ[

1

(x-2n-2)2

-2（x-2n）]，又函數g（x）=f（x）+cos2θ-3sinθ+2的值在x∈[0，2]上恒大于0，則參數θ在區(qū)間（0，

π

2

）上取值范圍是（　�。�

• A、（

  π

  6

  ，

  π

  2

  ）
• B、（0，

  π

  3

  ）
• C、（0，

  π

  6

  ）
• D、（

  π

  3

  ，

  π

  2

  ）

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：函數g（x）=f（x）+cos2θ-3sinθ+2的值在x∈[0，2]上恒大于0，等價于f（x）＞-（cos2θ-3sinθ+2）在x∈[0，2]上恒成立，等價于-1＞-（cos2θ-3sinθ+2），結合θ∈（0，

π

2

），即可得出結論．

解答：解：由題意，∵函數g（x）=f（x）+cos2θ-3sinθ+2的值在x∈[0，2]上恒大于0，
∴f（x）＞-（cos2θ-3sinθ+2）在x∈[0，2]上恒成立，
∵x∈[0，2]時，f（x）=

1

(x-2)2

-2x，
∴f′（x）=

-2

(x-2)3

-2，
∴x=1時，f′（x）=0，函數取得最小值-1，
∴-1＞-（cos2θ-3sinθ+2）
∴2sin²θ+3sinθ-2＜0，
∴-2＜sinθ＜

1

2

，
∵θ∈（0，

π

2

），
∴θ∈（0，

π

6

）．
故選：C．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查三角函數知識，考查學生的計算能力，正確求出函數的最小值是關鍵．