Question

（05年上海卷）（16分）

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5.過(guò)A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.

（1）求拋物線方程；

（2）過(guò)M作，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)是軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.

Answer 1

解析：(1) 拋物線y²=2px的準(zhǔn)線為x=-,于是4+=5, ∴p=2.

   ∴拋物線方程為y²=4x.

   (2)∵點(diǎn)A是坐標(biāo)是(4,4), 由題意得B(0,4),M(0,2),

   又∵F(1,0), ∴k_FA=;MN⊥FA, ∴k_MN=-,

   則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-x,解方程組得x=,y=,

   ∴N的坐標(biāo)(,).

(1)    由題意得, ,圓M.的圓心是點(diǎn)(0,2), 半徑為2,

當(dāng)m=4時(shí), 直線AK的方程為x=4,此時(shí),直線AK與圓M相離.

當(dāng)m≠4時(shí), 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0,

圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d>2,解得m>1

∴當(dāng)m>1時(shí), AK與圓M相離;

  當(dāng)m=1時(shí), AK與圓M相切;

  當(dāng)m<1時(shí), AK與圓M相交.