Question

四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2：3．
（1）證明：點(diǎn)G、E、F、H四點(diǎn)共面；
（2）證明：EF、GH、BD交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理，我們可得，EG∥AC，又由F、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，根據(jù)平行線分線段成比例定理的引理，我們可得FH∥AC，則由平行公理我們可得EG∥FH，易得E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（2）由（1）的結(jié)論，EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)P，而由于BD是EF和GH分別所在平面BCD和平面ABD的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，由公理3知P∈BD，故三線共點(diǎn)．

解答：證明：（1）∵E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，∴EG∥AC
又∵DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，∴FH∥AC．
∴EG∥FH
所以，E、F、G、H四點(diǎn)共面．
（2）由（1）可知，EG∥FH，且EG≠FH，即EF，GH是梯形的兩腰，
所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)P
∵BD是EF和GH分別所在平面BCD和平面ABD的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，
∴由公理3知P∈BD．
所以，三條直線EF、GH、BD交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)．（1）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．（2）證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題．實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理．