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給出定義:若m-<x≤m+(其中m為整數),則m叫做離實數x最近的整數,記作{x},即{x}=m.在此基礎上給出下列關于函數f(x)=x-{x}的四個命題:
①y=f(x)的定義域是R,值域是(,];
②點(k,0)(k∈Z)是y=f(x)的圖象的對稱中心;
③函數y=f(x)的最小正周期為1;
④函數y=f(x)在(]上是增函數;
則其中真命題是   
【答案】分析:根據讓函數解析式有意義的原則確定函數的定義域,然后根據解析式易用分析法求出函數的值域;根據f(2k-x)與f(x)的關系,可以判斷函數y=f(x)的圖象是否關于點(k,0)(k∈Z)對稱;再判斷f(x+1)=f(x)是否成立,可以判斷③的正誤;而由①的結論,易判斷函數y=f(x)在 (,]上的單調性,但要說明④不成立,我們可以舉出一個反例.
解答:解:①中,令x=m+a,a∈(-]
∴f(x)=x-{x}=a∈(-,]
所以①正確;
②中∵f(2k-x)=(2k-x)-{2k-x}=(-x)-{-x}=f(-x)
∴點(k,0)(k∈Z)是y=f(x)的圖象的對稱中心;故②錯;
③中,∵f(x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x}=f(x)
所以周期為1,故③正確;
④中,x=-時,m=-1,
f(-)=
x=時,m=0,
f( )=
所以f(-)=f(
所以④錯誤.
故答案為:①③.
點評:本題考查的知識點是利用函數的三要素、性質判斷命題的真假,我們要根據定義中給出的函數,結合求定義域、值域的方法,及對稱性、周期性和單調性的證明方法,對4個結論進行驗證.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•門頭溝區(qū)一模)給出定義:若m-
1
2
≤x<m+
1
2
(其中m為整數),則m叫離實數x最近的整數,記作[x]=m,已知f(x)=|[x]-x|,下列四個命題:
①函數f(x)的定義域為R,值域為[0,
1
2
]
; ②函數f(x)是R上的增函數;
③函數f(x)是周期函數,最小正周期為1;  ④函數f(x)是偶函數,
其中正確的命題的個數是( �。�

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1
2
≤x<m+
1
2
(其中m為整數),則m叫離實數x最近的整數,記作[x]=m,已知f(x)=|[x]-x|,下列四個命題:
①函數f(x)的定義域為R,值域為[0,
1
2
]
;   ②函數f(x)是R上的增函數;
③函數f(x)是周期函數,最小正周期為1;    ④函數f(x)是偶函數,
其中正確的命題是
①③④
①③④

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給出定義:若m-<x≤m+(其中m為整數),則m叫做離實數x最近的整數,記作{x},即{x}=m.在此基礎上給出下列關于函數f(x)=x-{x}的四個命題:
①y=f(x)的定義域是R,值域是(];
②點(k,0)(k∈Z)是y=f(x)的圖象的對稱中心;
③函數y=f(x)的最小正周期為1;
④函數y=f(x)在(,]上是增函數;
則其中真命題是   

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年江西省南昌市蓮塘一中高三(上)12月月考數學試卷(解析版) 題型:填空題

給出定義:若m-<x≤m+(其中m為整數),則m叫做離實數x最近的整數,記作{x},即{x}=m.在此基礎上給出下列關于函數f(x)=x-{x}的四個命題:
①y=f(x)的定義域是R,值域是(,];
②點(k,0)(k∈Z)是y=f(x)的圖象的對稱中心;
③函數y=f(x)的最小正周期為1;
④函數y=f(x)在(,]上是增函數;
則其中真命題是   

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