Question

已知不等式mx²-2x-3≤0的解集為（-1，n），
（1）求m+2n的值；
（2）（文科做）解關(guān)于x的不等式：x²+（a-n）x-3ma＞0（a∈R）
（2）（理科做）解關(guān)于x的不等式：ax²+n+1＞（m+1）x+2ax（a＜2）

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件可得關(guān)于x的方程mx²-2x-3=0的兩根為-1，n，且m＞0，由韋達(dá)定理，即可得到；
（2）（文科做）代入m，n的值，對(duì)a討論，分a＜-3，a＞-3，a=-3，即可得到解集；
（2）（理科做）代入m，n的值，對(duì)a討論，分a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，1＜a＜2，即可得到解集．

解答： 解：（1）由不等式mx²-2x-3≤0的解集為（-1，n）知
關(guān)于x的方程mx²-2x-3=0的兩根為-1，n，且m＞0，
則-1+n=

2

m

，-n=-

3

m

，解得m=1，n=3．
則m+2n=7．
（2）（文科做）由（1）知關(guān)于x不等式x²+（a-n）x-3ma＞0（a∈R）
可以化為x²+（a-3）x-3a＞0（a∈R），
即（x-3）（x+a）＞0
故當(dāng)-a＞3，即a＜-3時(shí)，不等式的解集為{x|x＜3，或x＞-a}；
當(dāng)-a＜3，即a＞-3時(shí)，不等式的解集為{x|x＜-a，或x＞3}；
當(dāng)-a=3，即a=-3時(shí)，不等式的解集為{x|x≠3}
（2）（理科做）解：原不等式化為（x-2）（ax-2）＞0，
①當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為x-2＜0，解得x＜2；
②當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為(x-2)(x-

2

a

)＜0，且2＞

2

a

，解得

2

a

＜x＜2；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式化為(x-2)(x-

2

a

)＞0，且2＜

2

a

，解得x＞

2

a

或x＜2；
④當(dāng)a=1時(shí)，原不等式化為（x-2）²＞0，解得x∈R且x≠2；
⑤當(dāng)1＜a＜2時(shí)，原不等式化為(x-2)(x-

2

a

)＞0，且2＞

2

a

，解得x＜

2

a

或x＞2；
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜2}；
當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式的解集為{x|

2

a

＜x＜2}；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，原不等式的解集為{x|x＞

2

a

或x＜2}；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜

2

a

或x＞2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次不等式的解法，考查二次含參不等式的解法：分類(lèi)討論法，注意討論的標(biāo)準(zhǔn)和全面性，是一道易錯(cuò)題．