已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前6項(xiàng)依次構(gòu)成等比數(shù)列，且從第5項(xiàng)起依次構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．

①求滿足的的最小值；

②是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

（2）設(shè)數(shù)列的前6項(xiàng)均為正整數(shù)，公比為，且，求的最小值．

（1）①設(shè)數(shù)列的前6項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，從第5項(xiàng)起等差數(shù)列的公差為d．

由，，則；

又，解得或（舍，因?yàn)?sub>為整數(shù)），

所以，．故．……2分

所以…………4分

∵  ∴  由得

所以，滿足的的最小值為18．……………………………6分

②假設(shè)存在正整數(shù)，使得成立，

即     由或得

所以，存在正整數(shù)，使得成立．…………………10分

（Ⅱ）設(shè)，由，…，都是正整數(shù)，則必為有理數(shù)．

設(shè)，其中s，r都是正整數(shù)，且，，則．

由，得，所以是的整數(shù)倍．

因此，．……………14分

當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)，取到最小值243．……16分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，表示該數(shù)列前項(xiàng)的和，且對(duì)任意正整數(shù)，恒有，設(shè)

（1）      求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）      證明：無窮數(shù)列為遞增數(shù)列；

（3）是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)恒成立，若存在，求出的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年陜西省高三高考模擬考試（八）文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意的，滿足關(guān)系式

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是，前項(xiàng)和為，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省高三11月月考文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，稱為的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且其前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，試比較與的大�。�

（3）設(shè)函數(shù)，是否存在最大的實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)，都有恒成立？

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年北京市西城區(qū)高三一模試卷數(shù)學(xué)（理科） 題型：填空題

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于，有

當(dāng)時(shí)，______；

若存在，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，恒為常數(shù)，則的值為______.

 

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