分析 (1)由向量垂直的條件:數(shù)量積為0,運用兩角差的余弦公式,以及余弦定理,可得B,A的度數(shù);
(2)運用向量數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,可得A+C=2B,解得B=60°,再由三角形的面積公式計算即可得到所求值.
解答 解:(1)由$\overrightarrow{m}$=(cosA-cosC,sinB),$\overrightarrow{n}$=(cosB,sinA-sinC),
且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$,可得cosB(cosA-cosC)+sinB(sinA-sinC)=0,
即為cosAcosB+sinAsinB=cosCcosB+sinCsinB,
即有cos(A-B)=cos(B-C),
在△ABC中,由a2+c2+ac=b2,可得a2+c2-b2=-ac,
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$,
由B為三角形的內(nèi)角,可得B=120°,
A+C=60°,
由cos(B-A)=cos(B-C),可得A=C=30°;
(2)由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=20,且a≠c,
可得cacosB=20,
由(1)可得cos(A-B)=cos(B-C),
即為A-B=B-C+k•360°,
或A-B=C-B+k•360°,k∈Z,
由A≠C,A,B,C為三角形的內(nèi)角,
可得A+C=2B,又A+C+B=180°,
解得B=60°,
則ac=$\frac{20}{cos60°}$=40,
即有△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$.
點評 本題考查向量垂直的條件:數(shù)量積為0,考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運用,考查余弦定理和面積公式的運用,以及化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | 3024 | B. | 2016 | C. | 1008 | D. | 504 |
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