Question

已知全集U=R，非空集合A={x|

x-2

x-3

＜0}，B={x|

x-(a2+2)

x-a

＜0}．
（Ⅰ）當a=

1

2

時，求（C_uB）∩A；
（Ⅱ）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過a=

1

2

，求出集合B，求出集合A，然后求出集合B的補集，即可求（C_uB）∩A；
（Ⅱ）利用q是p的必要條件，說明A⊆B，列出a的關系式，然后求實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）A={x|2＜x＜3}，
當a=

1

2

時，，B={x|

1

2

＜x＜

9

4

}，（2分）
?_UB={x|x≤

1

2

或x≥

9

4

 }，
∴（?_UB）∩A={x|

9

4

≤x＜3}．（4分）
（Ⅱ）由若q是p的必要條件，即p⇒q，可知A⊆B．（6分）
由a²+2＞a，B={x|a＜x＜a²+2}             （8分）
∴

a≤2 a2+2≥3

，解得a≤-1或1≤a≤2．（12分）

點評：本題考查集合的基本運算，充要條件的應用，考查分析問題解決問題的能力．