Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=

3

，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）若在邊BC上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=4，且PQ⊥QD，求二面角A-PD-Q的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）在邊BC上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，則PQ²+QD²=PD²，從而可得方程，利用判別式大于等于0，可求a的取值范圍；
（Ⅱ）因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD，所以過Q作 QM⊥AD，則QM⊥面PAD，過M作MN⊥PD，由三垂線定理有QN⊥PD，從而∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角，再在△MNQ中，利用正切函數(shù)可求．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)BQ=t，AQ²=3+t²，則
PQ²=19+t²，QD²=3+（a-t）²，PD²=16+a²
由PQ⊥QD得：19+t²+3+（a-t）²=16+a²，即t²-at+3=0
∴△=a²-12≥0⇒a≥2

3

．
（Ⅱ）由（Ⅱ）得當(dāng)a=4時(shí)，t²-4t+3=0，t=1或t=3
因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD，
所以過Q作 QM⊥AD，則QM⊥面PAD，
過M作MN⊥PD，由三垂線定理有QN⊥PD
所以∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角
在Rt△PAD中，

MN

PA

=

MD

PD

⇒MN=

4-t

2

，
當(dāng)t=1時(shí)，tan∠MNQ=

3

3 2

=

6

3

當(dāng)t=3時(shí)，tan∠MNQ=

3

1 2

=

6

∴二面角A-PD-Q的大小為arctan

6

3

或arctan

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題以線面垂直為載體，考查線線垂直，考查面面角，關(guān)鍵是正確作出面面角．