Question

11．如圖，在三棱錐P-ABC中，三組對棱相等，且PA=13，PB=14，PC=15，求三棱錐的體積．

Answer 1

分析 由三棱錐的各面全等可知三棱錐可看做長方體切去四個小棱錐得到的，長方體的面對角線為13，14，15，求出長方體的棱長，使用作差法求出體積．

解答 解：由題意可知三棱錐的四個面全等．
故三棱錐可看做是對角線為13，14，15的長方體的面對角線組成的棱錐．
設(shè)長方體的棱長分別為a，b，c，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=169}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=196}\\{^{2}+{c}^{2}=225}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=70}\\{^{2}=99}\\{{c}^{2}=126}\end{array}\right.$．
∴長方體的體積V_長方體=abc=$\sqrt{{a}^{2}^{2}{c}^{2}}$=126$\sqrt{55}$．
∴三棱錐的體積為V=V_長方體-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc$=$\frac{1}{3}{V}_{長方體}$=42$\sqrt{55}$．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，發(fā)現(xiàn)棱錐的特點是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．