Question

已知a＜0，函數(shù)f(x)=asin(2x+

π

6

)+b，當x∈R時，f（x）∈[1，3]．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象也性質(zhì)，結(jié)合a＜0建立關(guān)于a、b的方程組，解之即得實數(shù)a，b的值；
（2）由（1）得函數(shù)表達式為f(x)=-sin(2x+

π

6

)+2．得函數(shù)y=sin(2x+

π

6

)的增區(qū)間就是函數(shù)f（x）的減區(qū)間，函數(shù)y=sin(2x+

π

6

)的減區(qū)間就是函數(shù)f（x）的增區(qū)間，由正弦函數(shù)單調(diào)性建立不等式，解之即得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：∵x∈R，∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]．
∵a＜0，∴asin(2x+

π

6

)∈[a，-a]，
因此，可得asin(2x+

π

6

)+b∈[b+a，b-a]．
又∵1≤f（x）≤3，
∴

b+a=1 b-a=3

，解得：a=-1，b=2．…（3分）
（2）由（1）知a=-1，b=2，得f(x)=-sin(2x+

π

6

)+2，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，（k∈Z）
∴函數(shù)y=sin(2x+

π

6

)的增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，
得函數(shù)f(x)=-sin(2x+

π

6

)+2的減區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]．（k∈Z）
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，（k∈Z）
∴函數(shù)y=sin(2x+

π

6

)的增區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，
得函數(shù)f(x)=-sin(2x+

π

6

)+2的增區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，（k∈Z）
綜上所述，得f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，單調(diào)減區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]．（k∈Z）

點評：本題給出y=Asin（ωx+φ）的最大、最小值，求參數(shù)a、b的值，著重考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性和由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識，屬于基礎(chǔ)題．