Question

14．如圖，四棱錐A-BCDE中，△ABC是正三角形，四邊形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（1）若點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，求證：AC∥平面BDG；
（2）試問(wèn)點(diǎn)F在線段AB上什么位置時(shí)，二面角B-CE-F的余弦值為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)CE，BD，設(shè)CE∩BD=O，連結(jié)OG，則OG∥AC，由此能證明AC∥平面BDG．
（2）以BC中點(diǎn)H為原點(diǎn)，HB為x軸，HO為y軸，HA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)點(diǎn)F在線段AB的三等分點(diǎn)（靠近端點(diǎn)A）時(shí)，二面角B-CE-F的余弦值為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

解答 證明：（1）連結(jié)CE，BD，設(shè)CE∩BD=O，連結(jié)OG，
由三角形的中位線定理，得OG∥AC，
∵AC?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AC∥平面BDG．
解：（2）以BC中點(diǎn)H為原點(diǎn)，HB為x軸，HO為y軸，HA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
在Rt△ACD中，斜邊AD=$\sqrt{7}$，AC=2，CD=$\sqrt{7-4}$=$\sqrt{3}$，
∴B（1，0，0），C（-1，0，0），E（1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)$\overrightarrow{BF}$=$λ\overrightarrow{BA}$，得F（1-λ，0，$\sqrt{3}$λ），（0＜λ≤1），
設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+\sqrt{3}y=0}\\{（2-λ）x+\sqrt{3}λz=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-2，1-\frac{2}{λ}$），
平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角B-CE-F的余弦值為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$，
∴$\frac{2\sqrt{11}}{11}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{|\frac{2}{λ}-1|}{\sqrt{7+（1-\frac{2}{λ}）^{2}}}$，
∵0＜λ≤1，解得$λ=\frac{2}{3}$，
∴當(dāng)點(diǎn)F在線段AB的三等分點(diǎn)（靠近端點(diǎn)A）時(shí)，二面角B-CE-F的余弦值為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．