已知函數(shù),f(x)=
-x3+x2(x<1)
alnx(x≥1)

(1)求f(x)在區(qū)間(-∞,1)上的極小值和極大值點;
(2)求f(x)在[-1,e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值.
分析:(1)當x<1時,求導函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,可得f(x)在區(qū)間(-∞,1)上的極小值和極大值點;
(2)分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可得到f(x)在[-1,e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值.
解答:解:(1)當x<1時,f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f′(x)=0,得x=0或x=
2
3

當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
 x  (-∞,0)  0 (0,
2
3
 
2
3
 (
2
3
,1)
 f′(x) -  0 +  0 -
 f(x)    極小值    極大值  
∴當x=0時,函數(shù)f(x)取得極小值f(0)=0,函數(shù)f(x)取得極大值點為x=
2
3

(2)①當-1≤x<1時,f(x)=-x3+x2
由(1)知,函數(shù)f(x)在[-1,0]和[
2
3
,1)上單調(diào)遞減,在[0,
2
3
]上單調(diào)遞增.∵f(-1)=2,f(
2
3
)=
4
27
,f(0)=0

∴f(x)在[-1,1)上的最大值為2.
②當1≤x≤e時,f(x)=alnx.
當a≤0時,f(x)在[1,e],上單調(diào)遞增,∴f(x)max=a.
綜上所述,當a≥2時,f(x)在[-1,e]上的最大值為a;當a<2時,f(x)在[-1,e]上的最大值為2.
點評:本題考查導數(shù)知識的應用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值,考查分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x+
1
2
)
為奇函數(shù),設g(x)=f(x)+1,則g(
1
2011
)+g(
2
2011
)+g(
3
2011
)+g(
4
2011
)+…+g(
2010
2011
)
=( 。
A、1005B、2010
C、2011D、4020

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已知函數(shù),f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<
π2
)
的最大值為3,f(x)的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為2,在y軸上的截距為2.
(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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(2011•棗莊二模)已知函數(shù)y=
f(x),x>0
g(x),x<0
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已知函數(shù)y=
f(x)
ex
(x∈R)
滿足f′(x)>f(x),則f(1)與ef(0)的大小關系為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x+
1
2
)-
1
2
是定義域為實數(shù)集R的奇函數(shù),則f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+…+f(
2010
2011
)
的值為
1005
1005

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