Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx（a≠0，a∈R）．
（1）若對任意實數(shù)x∈[1，+∞），使得f（x）≥（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：對n∈N⁺，不等式$\frac{1}{ln（n+1）}+\frac{1}{ln（n+2）}+…+\frac{1}{ln（n+2016）}＞\frac{2016}{n（n+2016）}$成立．

Answer 1

分析 （1）由題意可知設g（x）=x²+alnx-（a+2）x，求導，當$\frac{a}{2}≤1$時，g（1）=1-（a+2）≥0，求得a≤-1，$\frac{a}{2}＞1$時，題意不能滿足，即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）可知，當a=-1時有：x²-lnx≥x，當 x＞1時   $\frac{1}{lnx}＞\frac{1}{x（x-1）}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$，采用“裂項法”即可求得$\frac{1}{ln（n+1）}+\frac{1}{ln（n+2）}+…+\frac{1}{ln（n+2016）}＞\frac{2016}{n（n+2016）}$成立．

解答 解：（1）依題意  x²+alnx-（a+2）x≥0在x∈[1，+∞）恒成立，
記g（x）=x²+alnx-（a+2）x，
則：${g^'}（x）=2x+\frac{a}{x}-（a+2）=\frac{（x+1）（2x-a）}{x}$
當$\frac{a}{2}≤1$時，g（1）=1-（a+2）≥0，
∴a≤-1，
當$\frac{a}{2}＞1$時，題意不能滿足，綜上所述a≤-1…．（6分）
（2）證明：由（1）當a=-1時有：x²-lnx≥x
∴當 x＞1時   $\frac{1}{lnx}＞\frac{1}{x（x-1）}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$，
∴：$\frac{1}{ln（n+1）}+\frac{1}{ln（n+2）}+…\frac{1}{ln（n+2016）}＞$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+…\frac{1}{n+2015}-$$\frac{1}{n+2016}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2016}=\frac{2016}{n（n+2016）}$…..（12分）

點評 本題考查導數(shù)的運算法則，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，采用“裂項法”求數(shù)列的前n和，考查計算能力，屬于中檔題．