Question

已知

a

=（1，2），

b

=（-3，1）．
（Ⅰ）求

a

-2

b

；
（Ⅱ）設(shè)

a

，

b

的夾角為θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）若向量

a

+k

b

與

a

-k

b

互相垂直，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的加減運(yùn)算法則，進(jìn)行運(yùn)算．
（Ⅱ） 把兩個(gè)向量的坐標(biāo)直接代入兩個(gè)向量的夾角公式進(jìn)行運(yùn)算．
（Ⅲ）因?yàn)橄蛄?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

+k

b

與

a

-k

b

互相垂直，所以，它們的數(shù)量積等于0，解方程求得k的值．

解答：解：（Ⅰ）

a

-2

b

=（1，2）-2（-3，1）=（1+6，2-2）=（7，0）．
（Ⅱ）cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

1×(-3)+2×1

1+(-3)2 22+1

=-

50

50

．
（Ⅲ）因?yàn)橄蛄?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

+k

b

與

a

-k

b

互相垂直，
所以，（

a

+k

b

）•（

a

-k

b

）=0，即

a

2-k2

b

2=0
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

2=5，

b

2=10，所以，5-10k²=0，解得 k=±

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，
兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用．