Question

（2013•資陽(yáng)二模）某部門(mén)對(duì)當(dāng)?shù)爻青l(xiāng)居民進(jìn)行了主題為“你幸福嗎？”的幸福指數(shù)問(wèn)卷調(diào)査，并在已被問(wèn)卷調(diào)查的居民中隨機(jī)抽選部分居民參加“幸福職業(yè)”或“幸福愿景”的座談會(huì)，被邀請(qǐng)的居民只能選擇其中一場(chǎng)座談會(huì)參加．已知A小區(qū)有1人，B小區(qū)有3人收到邀請(qǐng)并將參加一場(chǎng)座談會(huì)，若A小區(qū)已經(jīng)收到邀請(qǐng)的人選擇參加“幸福愿景”座談會(huì)的概率是

3

4

，B小區(qū)已經(jīng)收到邀請(qǐng)的人選擇參加“幸福愿景”座談會(huì)的概率是

1

2

．
（Ⅰ）求A、B兩個(gè)小區(qū)已收到邀請(qǐng)的人選擇“幸福愿景”座談會(huì)的人數(shù)相等的概率；
（Ⅱ）在參加“幸福愿景”座談會(huì)的人中，記A、B兩個(gè)小區(qū)參會(huì)人數(shù)的和為 ξ，試求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“A、B兩小區(qū)已經(jīng)收到邀請(qǐng)的人選擇“幸福愿景”座談會(huì)的人數(shù)相等”為事件A，由題意可得P（A）=（1-

3

4

）×

C

0 3

(

1

2

)3+

3

4

×

C

1 3

(

1

2

)3，計(jì)算可得；
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的可能值為0，1，2，3，4．分別求其對(duì)應(yīng)的概率值，可得ξ的分布列，即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答：解析 （Ⅰ）記“A、B兩小區(qū)已經(jīng)收到邀請(qǐng)的人選擇“幸福愿景”座談會(huì)的人數(shù)相等”為事件A，
則P（A）=（1-

3

4

）×

C

0 3

(

1

2

)3+

3

4

×

C

1 3

(

1

2

)3=

5

16

．（4分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的可能值為0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=（1-

3

4

）×（1-

1

2

）³=

1

32

；P（ξ=1）=

3

4

×（1-

1

2

）³+（1-

3

4

）×

C

1 3

(

1

2

)3=

6

32

；
P（ξ=2）=

3

4

×

C

1 3

（1-

1

2

）³+（1-

3

4

）×

C

2 3

(

1

2

)3=

12

32

；
P（ξ=3）=

3

4

×

C

2 3

（

1

2

）³+（1-

3

4

）×(

1

2

)3=

10

32

；
P（ξ=4）=

3

4

×（

1

2

）³=

3

32

；（每對(duì)一個(gè)給1分）（9分）
故ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 32	6 32	12 32	10 32	3 32

（10分）
∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

32

+1×

6

32

+2×

12

32

+3×

10

32

+4×

3

32

=

9

4

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方程，涉及等可能事件的概率，屬中檔題．