Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（3x），（其中a＞0且a≠1），
（1）若f（x）+g（x）=log_a6，求x的值；
（2）若f（x）＞g（x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求x的值，將函數(shù)的解析式代入得到一個(gè)關(guān)于x的對(duì)數(shù)方程，故只須解一個(gè)對(duì)數(shù)方程即可，對(duì)數(shù)方程的解法通常是化成同底的對(duì)數(shù)后，去掉對(duì)數(shù)符號(hào)化成整式方程解決．
（2）為了解不等式：f（x）＞g（x），只須解一個(gè)對(duì)數(shù)不等式即可，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)a分情況討論，將對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可．

解答：解：（1）∵log_a（x+1）+log_a（3x）=log_a6，
∴3x²+3x-6=0，得x₁=-2，x₂=1-（3分）
又∵

x+1＞0 3x＞0

∴x＞0，∴x=-2(舍去)，∴x=1（5分）
（2）∵log_a（x+1）＞log_a（3x），
①當(dāng)a＞1時(shí)，

x+1＞3x 3x＞0

?0＜x＜

1

2

（7分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

x+1＜3x x+1＞0

?x＞

1

2

（9分）
綜上，a＞1時(shí)，不等式解集為{x|0＜x＜

1

2

}，
0＜a＜1時(shí)，解集為{x|x＞

1

2

}．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)不等式、對(duì)數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．