Question

已知圓M：（x+

5

）²+y²=36，N（

5

，0），點(diǎn)P是圓M上的任意一點(diǎn)，線段NP的垂直平分線和半徑MP相較于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若圓x²+y²=4的切線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出|QM|+|QN|=6，由橢圓定義得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是橢圓，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)切線方程為x=ty+m，由

|m|

1+t2

=2，得m²=4（1+t²），由

x=ty+m x2 9 + y2 4 =1

，得：（4t²+9）y²+8tmy+4m²-36=0，由此利用弦長(zhǎng)公式和均值定理能求出△AOB的面積最大值為3．

解答： 解：（Ⅰ）由已知條件得|QN|=|QP|，又是|QM|+|QP|=6，
∴|QM|+|QN|=6，
根據(jù)橢圓定義得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是橢圓，
且2a=6，a=3，c=

5

，b=2，
∴點(diǎn)Q的軌跡C的方程為：

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）∵直線l不可能與x軸平行，∴設(shè)切線方程為x=ty+m，
由

|m|

1+t2

=2，得m²=4（1+t²），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=ty+m x2 9 + y2 4 =1

，消去x得：（4t²+9）y²+8tmy+4m²-36=0，
△=（8tm）²-4（4t²+9）（4m²+36）=144（4t²-m²+9）=144×5，
|AB|=

1+t2

|y₁-y₂|=

1+t2

•

12 5

4t2+9

=

12 5

4 1+t2 + 5 1+t2

≤

12 5

4 5

=3，
當(dāng)且僅當(dāng)t²=

1

4

等號(hào)成立，此時(shí)|m|=

5

，|AB|_max=3，
又∵S_△AOB=

1

2

×2×|AB|=|AB|，
∴|m|=

5

，|t|=

1

2

時(shí)，△AOB的面積最大，最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．