Question

4．為了響應(yīng)政府“節(jié)能、降耗、減排、增效”的號召，某工廠決定轉(zhuǎn)產(chǎn)節(jié)能燈，現(xiàn)有A、B兩種型號節(jié)能燈的生產(chǎn)線．在這兩種生產(chǎn)線的大量產(chǎn)品中各隨機抽取100個進行質(zhì)量評估，經(jīng)檢測，綜合得分情況如圖的頻率分布直方圖：

產(chǎn)品級別劃分以及利潤率如表，其中$\frac{1}{10}$＜a＜$\frac{1}{6}$；將頻率視為概率．

綜合得分k的范圍	產(chǎn)品級別	產(chǎn)品利潤率
k≥85	一級	a
75≤k＜85	二級	5a2
70≤k＜75	三級	a2

（Ⅰ）在A型節(jié)能燈中按產(chǎn)品級別用分層抽樣的方法抽取10個，在這10個節(jié)能燈中隨機抽取3個，至少有2個一級品的概率是多少？
（Ⅱ）從長期來看，投資哪種型號的節(jié)能燈的平均利潤率較大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖，求出對應(yīng)的頻率與頻數(shù)，計算用分層抽樣法抽取的樣本數(shù)，求出對應(yīng)的概率值；
（Ⅱ）計算投資A、B兩種型號節(jié)能燈的利潤率X₁、X₂的概率值，列出對應(yīng)的分布列，求出期望值，比較即可得出正確的結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，A型節(jié)能燈中，一級品的頻率為0.080×5+0.040×5=0.6，
二級品的頻率為0.020×5+0.06．×5=0.4，三級品的頻率為0；
在A型節(jié)能燈中按產(chǎn)品級別用分層抽樣的方法隨機抽取10個，其中一級品6個，二級品4個
設(shè)在這節(jié)能燈中隨機抽取3個，至少有2個一級品為事件D，恰好有n個一級品為事件D_n，
則P（D₂）=$\frac{C_6^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，P（D₃）=$\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$；…（2分）
因為事件D₂、D₃為互斥事件，所以P（D）=P（D₂）+P（D₃）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$；
即在這10個節(jié)能燈中隨機抽取3個，至少有2個一級品的概率為$\frac{2}{3}$；…..（5分）
（Ⅱ）設(shè)投資A、B兩種型號節(jié)能燈的利潤率分別為X₁、X₂，
由頻率分布直方圖知，A型節(jié)能燈中，一級品、二級品、三級品的概率分別為$\frac{3}{5}$、$\frac{2}{5}$，0；
B型號節(jié)能燈中一級品、二級品、三級品的概率分別為$\frac{7}{10}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{20}$；
所以X₁的分布列是：

X1	a	5a2
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{2}{5}$

X₂的分布列是：

X2	a	5a2	a2
P	$\frac{7}{10}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{20}$

…；（9分）
則X₁、X₂的期望分別是：$E（{X_1}）=\frac{3×a}{5}+\frac{{2×5{a^2}}}{5}=2{a^2}+\frac{3a}{5}$，
$E（{X_2}）=\frac{7×a}{10}+\frac{{5{a^2}}}{4}+\frac{a^2}{20}=\frac{{26{a^2}}}{20}+\frac{7a}{10}$，
所以，$E（{X_1}）-E（{X_2}）=\frac{14}{20}{a^2}-\frac{1}{10}a$=$\frac{7}{10}a（a-\frac{1}{7}）$；…（12分）
因為$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{6}$，所以從長期看
當(dāng)$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{7}$時，投資B型號的節(jié)能燈的平均利潤率較大$\frac{1}{7}＜a＜\frac{1}{6}$時，
投資A型號的節(jié)能燈的平均利潤率較大；
$a=\frac{1}{7}$時，投資兩種型號的節(jié)能燈的平均利潤率相等．…（14分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖與分層抽樣方法的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是綜合性題目．