Question

（2013•浙江模擬）已知函數f（x）=

(ax-1)2

2-x

，x∈（0，1]，它的一個極值點是x=

1

2

．
（Ⅰ） 求a的值及f（x）的值域；
（Ⅱ）設函數g（x）=e^x+4

x

-4x-a，試求函數F（x）=g（x）-f（x）的零點的個數．

Answer 1

分析：（I）先求導函數，然后根據x=

1

2

為函數f（x）的一個極值點，則f'（

1

2

）=0求出a的值，最后利用導數符號確定函數的極值點，代入原函數，求出值域即可；
（II）討論函數F（x）=g（x）-f（x）的零點的個數，即討論方程g（x）=f（x）根的個數．畫出函數f（x）、g（x）在同一坐標系的大致圖象，利用數形結合即可得出答案．

解答：解：（I）∵f′（x）=

2a(ax-1)(2-x)+(ax-1)2

(2-x)2

，
依題意得f'（

1

2

）=0，解得a=2或a=

2

7

．
當a=2時，所以f（x）=

(2x-1)2

2-x

，f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調增，
所以當x=1時，函數f（x）取得最大值f（1）=1；當x=

1

2

時，函數f（x）取得最小值f（

1

2

）=0．
∴f（x）的值域[0，1]；
當a=

2

7

時，所以f（x）=

( 2 7 x-1)2

2-x

，f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調增，
所以當x=1時，函數f（x）取得最大值f（1）=

25

49

；當x=

1

2

時，函數f（x）取得最小值f（

1

2

）=

24

49

．
∴f（x）的值域[

24

49

，

25

49

]；．…（6分）
（II）由（I）知，
當a=2時，所以f（x）=

(2x-1)2

2-x

，
∴討論函數F（x）=g（x）-f（x）的零點的個數，即討論方程g（x）=f（x）根的個數．
函數f（x）、g（x）在同一坐標系的大致圖象如圖所示，

f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調增，
此時，兩個函數的圖象有兩個交點，從而函數F（x）=g（x）-f（x）的零點的個數是2；
當a=

2

7

時，所以f（x）=

( 2 7 x-1)2

2-x

，f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調增，
函數f（x）、g（x）在同一坐標系的大致圖象如圖所示，

f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調增，
此時，兩個函數的圖象沒有交點，從而函數F（x）=g（x）-f（x）的零點的個數是0．…（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了分類討論和數形結合的思想，屬于中檔題．