Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短軸長為2，動點M（2，t）（t＞0）在橢圓的準線上．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程：
（Ⅱ）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）把M的橫坐標代入準線方程得到一個關(guān)系式，然后由短半軸b和c表示出a，代入關(guān)系式得到關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，進而得到a的值，由a和b的值寫出橢圓的標準方程即可；
（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程，變?yōu)闃藴史匠毯笳页鰣A心坐標和圓的半徑，由以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長，過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點到直線的距離公式表示出圓心到3x-4y-5=0的距離d，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；
（3）設(shè)出點N的坐標，表示出

FN

，

OM

，

MN

，

ON

，由

FN

⊥

OM

，得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則表示出一個關(guān)系式，又

MN

⊥

ON

，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則得到另一個關(guān)系式，把前面得到的關(guān)系式代入即可求出線段ON的長，從而得到線段ON的長為定值．

解答： 解：（Ⅰ）又由點M在準線上，得

a2

c

=2故

1+c2

c

=2，∴c=1，從而a=

2

所以橢圓方程為

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）以O(shè)M為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-t）=0
即（x-1）²+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1，
其圓心為（1，

t

2

），半徑r=

t2 4 +1

因為以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=

r2-1

=

t

2

所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5
（Ⅲ）設(shè)N（x₀，y₀），則

FN

=（x₀-1，y₀），

OM

=（2，t），

MN

=（x₀-2，y₀-t），

ON

=（x₀，y₀），
∵

FN

⊥

OM

，∴2（x₀-1）+ty₀=0，∴2x₀+ty₀=2，
又∵

MN

⊥

ON

，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+ty₀=2，
所以|

ON

|=

x 2 0 + y 2 0

=

2

為定值．

點評：此題綜合考查了橢圓的簡單性質(zhì)，垂徑定理及平面向量的數(shù)量積的運算法則．要求學(xué)生掌握平面向量垂直時滿足的條件是兩向量的數(shù)量積為0，以及橢圓中長半軸的平方等于短半軸與半焦距的平方和．