Question

1．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且a_n+1=$\frac{4{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N⁺）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}\}$是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}-\frac{n}{2}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）兩邊取倒數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得到證明；
（Ⅱ）由數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式的特征可知其前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解．

解答 （Ⅰ）證明：∵${a}_{n+1}=\frac{4{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+2}{4{a}_{n}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2{a}_{n}}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}）$，
又${a}_{1}-\frac{1}{2}≠0$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}\}$為以$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，
∴$_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}①$
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}+\frac{n}{{2}^{n+1}}$②
①-②得：$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
解得：${S}_{n}=2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義和錯(cuò)位相減法求和．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，只要用定義即可，注意各項(xiàng)不為零；（2）錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的一重點(diǎn)內(nèi)容，正確掌握其運(yùn)算方法是解題關(guān)鍵．