Question

 如圖，在四棱錐P-ABCD中，

底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，

平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是

棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.

（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）設(shè)PM=t MC，若二面角M-BQ-C的平面角的

大小為30°，試確定t的值.

 

                                                            

 

Answer 1

【答案】

 （I）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．    

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD， 

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．   ……………………7分

另證：AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，  ∴ 四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°．  ∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD． 

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………7分

（II）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

則平面BQC的法向量為；

，，

，．

設(shè)，則，，

∵，

∴ ，    ∴                  …………………………11分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量為．       

∵二面角M-BQ-C為30°，，

∴ ．                                           …………………………15分