已知函數(shù).
⑴ 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵ 如果對于任意的,
總成立,求實數(shù)
的取值范圍;
⑶ 是否存在正實數(shù),使得:當(dāng)
時,不等式
恒成立?請給出結(jié)論并說明理由.
(1) .;(2)
⑶詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)利用求導(dǎo)的基本思路求解,注意導(dǎo)數(shù)的四則運算;(2)利用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化為總成立,只需
時
.借助求導(dǎo),研究
的性質(zhì),通過對參數(shù)k的討論和單調(diào)性的分析探求實數(shù)
的取值范圍;⑶通過構(gòu)造函數(shù)和等價轉(zhuǎn)化思想,將問題轉(zhuǎn)化為
,要使
在
上恒成立,只需
.然后利用求導(dǎo)研究函數(shù)的最大值,進(jìn)而證明結(jié)論.
試題解析::(1) 由于,
所以. (2分)
當(dāng),即
時,
;
當(dāng),即
時,
.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為
,
單調(diào)遞減區(qū)間為. (4分)
(2) 令,要使
總成立,只需
時
.
對求導(dǎo)得
,
令,則
,(
)
所以在
上為增函數(shù),所以
. (6分)
對分類討論:
① 當(dāng)時,
恒成立,所以
在
上為增函數(shù),所以
,即
恒成立;
② 當(dāng)時,
在上有實根
,因為
在
上為增函數(shù),所以當(dāng)
時,
,所以
,不符合題意;
③ 當(dāng)時,
恒成立,所以
在
上為減函數(shù),則
,不符合題意.
綜合①②③可得,所求的實數(shù)的取值范圍是
. (9分)
(3) 存在正實數(shù)使得當(dāng)
時,不等式
恒成立.
理由如下:令,要使
在
上恒成立,只需
. (10分)
因為,且
,
,所以存在正實數(shù)
,使得
,
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減,即當(dāng)
時,
,所以只需
均滿足:當(dāng)
時,
恒成立. (12分)
注:因為,
,所以
考點:1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力;2.用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點的情況.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東濟南外國語高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東濟南外國語高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省南京市、鹽城市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006-2007學(xué)年江蘇省常州高級中學(xué)高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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