Question

3．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={（-1）^{n+1}}•{n^2}$，其前n項和為S_n，
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中所猜想的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知的遞推關(guān)系，可以構(gòu)造出我們熟悉的等差數(shù)列．再用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明即可．

解答 解：（1）${S_1}={（-1）^2}•{1^2}=1$，S₂=1-4=-3，S₃=1-4+9=6，S₄=1-4+9-16=-10，（算對一個1分）…（4分）
猜想：${S_n}={（-1）^{n+1}}\frac{n（n+1）}{2}，n∈{N^*}$…（6分）
（2）由（1）知即證明${S_n}={（-1）^{n+1}}\frac{n（n+1）}{2}，n∈{N^*}$
①當(dāng)n=1時，${S_1}={（-1）^{1+1}}\frac{1•（1+1）}{2}=1$，猜想成立； …（7分）
②假設(shè)n=k（k≥1）時猜想成立，即${S_k}={（-1）^{k+1}}\frac{k（k+1）}{2}$…（9分）
則  n=k+1時${S_{k+1}}={S_k}+{a_{k+1}}={（-1）^{k+1}}\frac{k（k+1）}{2}+{（-1）^{k+1+1}}{（k+1）^2}$…（10分）
$\begin{array}{l}={（-1）^{k+2}}[-\frac{k（k+1）}{2}+{（k+1）^2}]\\={（-1）^{k+2}}\frac{（k+1）（k+2）}{2}\\={（-1）^{（k+1）+1}}\frac{（k+1）[（k+1）+1]}{2}\end{array}$…（12分）
所以，n=k+1時，猜想也成立；  …（13分）
由①、②可得${S_n}={（-1）^{n+1}}\frac{n（n+1）}{2}，n∈{N^*}$…（14分）

點評 構(gòu)造數(shù)列是對已知數(shù)列的遞推關(guān)系式變形后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，創(chuàng)造一個等差或等比數(shù)列，借此求原數(shù)列的通項公式，是考查的重要內(nèi)容．同時考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．