Question

已知函數，其中a為常數．

（1）當時，求的最大值；

（2）若在區(qū)間（0，e］上的最大值為，求a的值；

（3）當時，試推斷方程=是否有實數解．

 

Answer 1

(1)=f（1）=-1；(2)a=；(3)方程|f（x）|=沒有實數解.

【解析】

試題分析：(1)當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+

由0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.

知f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數，從而=f（1）=-1.

(2)利用導數確定函數的最大值得，=f=-1+ln

由-1+ln=-3，即得a=.

(3)由（1）知當a=-1時=f（1）=-1，可知|f（x）|≥1；

應用導數研究g（x）=,得到=g（e）=<1,即g(x)<1，

根據|f（x）|>g(x),即|f(x)|>知方程|f（x）|=沒有實數解.

試題解析：(1)當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+

當0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數，=f（1）=-14分

(2)∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈

①若a≥，則f′(x)≥0，f(x)在(0,e］上增函數

∴=f（e）=ae+1≥0.不合題意 5分

②若a<，則由f′(x)>0>0，即0<x<

由f(x)<0<0，即<x≤e.從而f(x)在上增函數,在為減函數

∴=f=-1+ln

令-1+ln=-3，則ln=-2∴=，即a=.

∵<,

∴a=為所求 8分

(3)由（1）知當a=-1時=f（1）=-1，

∴|f（x）|≥1

又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,

當0<x<e時，g′(x)>0,g(x)在(0,e)單調遞增；當x>e時,g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)單調遞減∴=g（e）=<1,∴g(x)<1

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>∴方程|f（x）|=沒有實數解. 12分

考點：應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，不等式恒成立問題，函數與方程.