Question

已知不等式

1

x

+

a

y

≥

16

x+y

對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為

9

．

Answer 1

分析：由題設(shè)知(x+y)(

1

x

+

a

y

)min≥16對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，所以1+a+

a

≥16，由此能求出正實(shí)數(shù)a的最小值．

解答：解：∵不等式

1

x

+

a

y

≥

16

x+y

對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，
∴(x+y)(

1

x

+

a

y

)min≥16對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立
∵(x+y)(

1

x

+

a

y

)=1+

y

x

+

ax

y

+a≥1+a+2

a

，
∴1+a+

a

≥16    
即(

a

+5)(

a

-3)≥0，又a＞0，
從而

a

≥3∴amin=9．
故答案為：9

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．