Question

有一動(dòng)圓P恒過(guò)定點(diǎn)F（a，0），a＞0且與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABP為正三角形，則P的軌跡為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)圓心坐標(biāo)（b，c），半徑R，可得圓的方程，利用△ABP為正三角形，確定3（a-b）²+3c²=4b²，即可得出P的軌跡．

解答： 解：設(shè)圓心坐標(biāo)（b，c），半徑R，則圓的方程：（x-b）²+（y-c）²=R²
令y=0，則x=a，代入得：（a-b）²+c²=R²（*）
令x=0，得b²+（y-c）²=R²，解得y₁=c+

R2-b2

，y₂=c-

R2-b2

，
由題知，AB=R，即|y₁-y₂|=R，
∴2

R2-b2

=R，化簡(jiǎn)得3R²=4b²
將（*）式代入，消去R得：3（a-b）²+3c²=4b²
將b換成x，c換成y，并化簡(jiǎn)得：（x+3a）²-3y²=12a²
即P的軌跡為：（x+3a）²-3y²=12a²，是一個(gè)雙曲線．
故答案為：雙曲線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查P的軌跡，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．