Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．T_n=na₁+（n-1）a₂+…+a_n，且T₁=1，T₂=4
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）求{T_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則T₁=a₁，T₂=2a₁+a₂=a₁（2+q）．
∵T₁=1，T₂=4，代入解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）設S_n=a₁+a₂+…+a_n，則S_n=1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1
∴T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n）
=S₁+S₂+…+S_n=（2-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+…+2ⁿ）-n=-n=2ⁿ⁺¹-n-2
分析：（1）根據題意，首先設出等比數(shù)列的公比為q，利用T₁=1，T₂=4，求出數(shù)列的首項與公比，即可求數(shù)列的通項；
（2）根據等比數(shù)列的求和公式推出T_n的通項公式即可．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項與求和，正確處理T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n是關鍵．