Question

【題目】已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)、滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）證明見解析

【解析】

（1）求得，分和兩種情況討論，即可求解；

（2）由（1）可得當(dāng)時(shí)，由兩個(gè)不相等的正數(shù)、滿足，不妨設(shè)，得出，結(jié)合單調(diào)性，即可求解．

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

①當(dāng)時(shí)，恒有，故在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上①②可知當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）知時(shí)在上單調(diào)遞增，

若，則，不合題意，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)、滿足，

則、必有一個(gè)在上，另一個(gè)在上，

不妨設(shè)，則，即，

令，

則，當(dāng)且僅當(dāng)是取等號(hào)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，

所以時(shí)，，即，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，即．