Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，設(shè)
（1）求橢圓C的離心率e和λ的函數(shù)關(guān)系式e=f（λ）
（2）若橢圓C的離心率e最小，且橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，由此能導(dǎo)出．
（2）由，知，此時(shí)，則橢圓C的方程為．設(shè)M（x，y），又，則=，由此能求出橢圓C的方程．
解答：解：（1）由（2分）
△PF₁F₂，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
即（4分）
上式兩邊同除以（2a）²，得（5分）∴（6分）
（2）由（1）知，∵，∴∴，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)λ=1時(shí)成立，故（8分）
此時(shí)，則橢圓C的方程為
設(shè)M（x，y），又，則=，
其中y∈[-b，b]．（l0分）
①當(dāng)即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，得a=2，
則b²=3，，滿足條件．（12分）
②當(dāng)即時(shí)，則當(dāng)y=-b時(shí)，，得
不滿足條件，舍去．綜上所述，a=2，，所求橢圓C的方程為（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，解題時(shí)要注意余弦定理的合理運(yùn)用和分類討論思想的靈活運(yùn)用．