Question

10．已知函數(shù)f（x）=2+$\frac{1}{x-a}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），a為常數(shù)．
（1）求a的值和函數(shù)f（x）的定義域；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在（a，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（2，3）代入函數(shù)解析式求出a的值；根據(jù)f（x）的解析式，求出它的定義域；
（2）用單調(diào)性定義證明f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2+$\frac{1}{x-a}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），
∴2+$\frac{1}{2-a}$=3，解得a=1；
∴f（x）=2+$\frac{1}{x-1}$，且x-1≠0，則x≠1，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)如下；
設(shè)1＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（2+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$）-（2+$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性定義與證明問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．