Question

16．若數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，且a₁=1，a₂=2，a₃=5，則a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得數(shù)列{a_n+1-a_n}的公比q=$\frac{{a}_{3}-{a}_{2}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{5-2}{2-1}$=3，從而a_n+1-a_n=3^n-1，由此利用累加法能求出a_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，且a₁=1，a₂=2，a₃=5，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}的公比q=$\frac{{a}_{3}-{a}_{2}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{5-2}{2-1}$=3，
∴a_n+1-a_n=3^n-1，
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+3+3²+…+3^n-2
=1+$\frac{1-{3}^{n-1}}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．