Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A、ω是常數(shù)，A＞0，ω＞0，φ是銳角）的部分圖象如圖所示，其中f(

π

3

)=0，f(

7π

12

)=-

2

=f(x)min．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移

φ

ω

個單位，再將圖象上的每個點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的ω倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，試寫出函數(shù)g（x）的解析式；
（3）若存在x0∈(0，

π

4

)，使得g(x0)+acosx0=2

2

成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得A，ω，φ；
（2）由（1）得

φ

ω

=

π

6

，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得g（x）的解析式；
（3）若存在x₀∈（0，

π

4

），使得

2

sinx₀+acosx₀=2

2

成立，可求得a=

2 (2-sinx0)

cosx0

=h（x₀），可以求導(dǎo)h′（x₀）求得a的最大值與最小值，從而得到答案．

解答：解：（1）由圖可知，A=

2

，

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，
∴T=π，故ω=2；
又f（

π

3

）=0，由圖可知，2×

π

3

+φ=π，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移

π

6

個單位，得到函數(shù)y=

2

sin[2（x+

π

6

-

π

6

）]=

2

sin2x；
再將圖象上的每個點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)g（x）=

2

sinx；
（3）若存在x₀∈（0，

π

4

），使得

2

sinx₀+acosx₀=2

2

成立．
a=

2 (2-sinx0)

cosx0

=h（x₀），x₀∈（0，

π

4

），
可以求導(dǎo)h′（x₀）=

2sinx0-1

cos2x0

，得：
h（x₀）在（0，

π

6

）遞減，[

π

6

，

π

4

）遞增；
h（

π

6

）=

6

，h（0）=2

2

，h（

π

4

）=4-

2

．
所求實數(shù)a的取值范圍是[6，2

2

]．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于難題．