Question

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，記點(diǎn)的軌跡為曲．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)，，是上的不同三點(diǎn)，且滿足．證明： 不可能為直角三角形．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）利用向量的關(guān)系式來得到坐標(biāo)關(guān)系式，然后借助于反證法來說明不成立。

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）由條件可知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等， 所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為．   4分

（Ⅱ）假設(shè)是直角三角形，不失一般性，設(shè)，

，，，則由，

，，

所以．          6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081312565744718282/SYS201308131258127335558406_DA.files/image014.png">，，，

所以．           8分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081312565744718282/SYS201308131258127335558406_DA.files/image019.png">，所以，，

所以．  ①

又，

所以，即． ②   10分

由①，②得，所以． ③

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081312565744718282/SYS201308131258127335558406_DA.files/image028.png">．

所以方程③無解，從而不可能是直角三角形．       12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）設(shè)，，，由，

得，．           6分

由條件的對(duì)稱性，欲證不是直角三角形，只需證明．

當(dāng)軸時(shí)，，，從而，，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由于點(diǎn)在上，所以，即，

此時(shí)，，，則．    8分

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為：，代入，

整理得：，則．

若，則直線的斜率為，同理可得：．

由，得，，．

由，可得．

從而，

整理得：，即，①

．

所以方程①無解，從而．           11分

綜合，， 不可能是直角三角形．         12分

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：本小題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等