Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）
（1）若a＞b＞c，f（1）=0，證明：f（x）的圖象與x軸有2個交點；
（2）若常數(shù)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），求證：必存在x₀∈（x₁，x₂）為函數(shù)F（x）=f（x）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]的零點．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用已知f（x）的圖象與x軸有2個交點，只要判斷△=b²-4ac＞0即可．
（2）要證明存在x₀∈（x₁，x₂）為函數(shù)F（x）的零點，只要函數(shù)F（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+（x₂）]，判斷F（x₁）×F（x₂）＜0即可證明在x₀∈（x₁，x₂）函數(shù)F（x）存在零點．

解答： 證明：∵f（1）=0，
∴a+b+c=0，
又a＞b＞c，
故a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴f（x）的圖象與x軸有2個交點．
（2）設(shè)F（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則F（x₁）×F（x₂）=[f（x₁）-

1

2

f（x₁）-
f（x₂）]×[f（x₂）-

1

2

f（x₁）-

1

2

f（x₂）]=

1

2

[f（x₁）-f（x₂）]×

1

2

[f（x₂）-f（x₁）]
=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²＜0，
由于f（x₁）≠f（x₂）
所以：F（x₁）×F（x₂）＜0
所以方程F（x）在（x₁，x₂）內(nèi)必有一根．
所以：必存在x₀∈（x₁，x₂）為函數(shù)F（x）=f（x）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]的零點．

點評：本題考查的知識要點：函數(shù)圖象與x軸的交點問題，零點的應用及存在性的應用．屬于中等題型．